Pourquoi L'intégration de Verlet est-elle meilleure que L'intégration D'Euler?

la méthode du Verlet est bonne pour simuler des systèmes avec économie d'énergie, et la raison en est qu'elle est symplectique. Afin de comprendre cet énoncé, vous devez décrire un pas de temps dans votre simulation comme une fonction, f, qui cartographie l'espace d'état en lui-même. En d'autres termes, chaque pas de temps peut être écrit sur le formulaire suivant.

(x (T+dt), v(t+dt)) = f(x(t),v (t))

la fonction time step, f, de la méthode Verlet a la propriété spéciale qu'elle économise de l'espace d'état du volume. On peut écrire ça en termes mathématiques. Si vous avez un ensemble A d'États dans l'espace d'État, alors vous pouvez définir f (a) par

f(A) = {f(x)| pour x dans Un}

supposons maintenant que les ensembles A et f(A) sont lisses et agréables de sorte que nous pouvons définir leur volume. Puis symplectique carte, f, sera toujours de satisfaire que le volume de f(A) est le même que le volume de A. (et ceci sera accompli pour tous belle et lisse choix d'Une). Ceci est accompli par le fonction du Pas de temps de la méthode Verlet, et donc la méthode Verlet est une méthode symplectique.

maintenant la dernière question Est. Pourquoi une méthode symplectique est-elle bonne pour simuler des systèmes avec des économies d'énergie, mais je crains que vous ayez à lire un livre pour le comprendre.

méthode D'Euler est une première commande, système d'intégration, c'est à dire l'erreur totale est proportionnelle à la taille de pas. Cependant, il peut être numériquement instable, en d'autres termes, l'erreur accumulée peut submerger le calcul vous donnant non-sens. S'il vous plaît noter, cette instabilité peut se produire indépendamment de la façon dont petit vous faites la taille de pas ou si le système est linéaire ou non. Je ne suis pas familier avec l'intégration de verlet, donc je ne peux pas parler de son efficacité. Mais, l' méthodes Runge-Kutta diffèrent de la méthode D'Euler en plus de la simple Taille de pas.

essentiellement, elles sont basées sur une meilleure approximation numérique du dérivé. Les détails précis m'échappent en ce moment. En général, la méthode du quatrième ordre Runge-Kutta est considérée comme la bête de somme des programmes d'intégration, mais elle a un certain inconvénients. Il est légèrement dissipatif, c'est-à-dire qu'un premier terme dérivé dépendant est ajouté à votre calcul qui ressemble à un frottement supplémentaire. En outre, il a une taille de pas fixe qui peut en résulter peut rendre difficile d'atteindre la précision que vous souhaitez. Alternativement, vous pouvez utiliser un schéma adaptatif stepsize, comme le méthode Runge-Kutta-Fehlberg, ce qui donne une précision de cinquième ordre pour 6 évaluations de fonctions supplémentaires. Cela peut réduire considérablement le temps nécessaire pour effectuer votre calcul tout en améliorant la précision, comme indiqué ici.

si tout se fait de façon linéaire, peu importe la méthode utilisée, mais quand quelque chose d'intéressant ( i.e. non linéaire) se produit, vous devez regarder plus attentivement, soit en considérant la non-linéarité directement (verlet) ou en prenant des plus petits pas de temps (rk4).